Algebra Beispiele

$\frac{(x + 5)}{(x^{3} - 25 x)} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 25 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x + 5}{x \cdot x^{2} - 25 x} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 25 x$ heraus.

$\frac{x + 5}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 25} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 25$ heraus.

$\frac{x + 5}{x (x^{2} - 25)} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x + 5}{x (x^{2} - 5^{2})} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x + 5}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x - 5)} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x (x - 5)}$ mit $2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x}{x (x - 5)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2}) - 11 x^{2} + 5 x}{x (x - 5)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 11 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2}) + x (- 11 x) + 5 x}{x (x - 5)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2}) + x (- 11 x) + x \cdot 5}{x (x - 5)}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2}) + x (- 11 x)$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2} - 11 x) + x \cdot 5}{x (x - 5)}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 11 x) + x \cdot 5$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2} - 11 x + 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2} - 11 (x) + 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 1$ plus $- 10$

$\frac{x (2 x^{2} + (- 1 - 10) x + 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x^{2} - 1 x - 10 x + 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x ((2 x^{2} - 1 x) - 10 x + 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{x (x - 5)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{x ((2 x - 1) (x - 5))}{x (x - 5)}$

$\frac{x (2 x - 1) (x - 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x - 1) (x - 5)}{x (x - 5)}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $2 x - 1$ durch $1$ .

$2 x - 1$