Algebra Beispiele

$g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ als Gleichung.

$y = \log_{3} (3 - 2 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{3} (3 - 2 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{3} (3 - 2 y) = x$ um.

$\log_{3} (3 - 2 y) = x$

Schritt 3.2

Schreibe $\log_{3} (3 - 2 y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 - 2 y$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $3 - 2 y = 3^{x}$ um.

$3 - 2 y = 3^{x}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = 3^{x} - 3$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = 3^{x} - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = 3^{x} - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $g^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$ die Umkehrfunktion von $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = - \frac{3^{\log_{3} (3 - 2 x)}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3^{\log_{3} (3 - 2 x)} + 3}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- (3 - 2 x) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3 + 2 x + 3}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + 2 x + 3$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 (- \frac{3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3^{x}}{2}$ in den Zähler.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 \frac{- 3^{x}}{2} - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 2 (- 1) (\frac{- 3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 1 (- 3^{x}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 1 \cdot 3^{x} - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $3^{x}$ mit $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 2 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} + 2 (- 1) (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} + 2 \cdot (- 1 (\frac{3}{2})))$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 1 \cdot 3)$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 3)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + 3^{x} - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (0 + 3^{x})$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $0$ und $3^{x}$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3^{x})$

Schritt 5.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x \log_{3} (3)$

Schritt 5.3.6

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ .

$g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$