Algebra Beispiele

$f (x) = 36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2}$

Schritt 1

Setze $36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2}$ gleich $0$ .

$36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $36 x^{4}$ heraus.

$x^{2} (36 x^{2}) - 12 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (36 x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} (36 x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (36 x^{2}) + x^{2} (- 12 x)$ heraus.

$x^{2} (36 x^{2} - 12 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (36 x^{2} - 12 x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$x^{2} (36 x^{2} - 12 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $36 x^{2}$ als ${(6 x)}^{2}$ um.

$x^{2} ({(6 x)}^{2} - 12 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} ({(6 x)}^{2} - 12 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (6 x) \cdot 1$

Schritt 2.1.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} ({(6 x)}^{2} - 2 \cdot (6 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 6 x$ und $b = 1$ .

$x^{2} {(6 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(6 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(6 x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(6 x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(6 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(6 x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $6 x - 1$ gleich $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 1$

Schritt 2.4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Schritt 2.4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} {(6 x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = \frac{1}{6}$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = \frac{1}{6}$ (Vielfachheit von $2$ )

Schritt 3