Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 1}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x) + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 2 \cdot 2}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1) - 2 x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1) + 2 (- x^{2})}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2) \cdot 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2) \cdot 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) (x - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 5

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x - 1) + 1 (x - 1)) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{2} - x + x - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$(x^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und $1 + x$ .

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Schritt 9.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (1 - x)}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (1 - x)}$

Schritt 9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 1}{1 - x}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und $1 - x$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Schritt 9.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 9.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$