Algebra Beispiele

$a^{8} - a^{2} b^{6}$

Schritt 1

Klammere den ggT $a^{2}$ aus $a^{8} - a^{2} b^{6}$ aus.

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Schritt 1.1

Klammere den ggT $a^{2}$ aus jedem Term des Polynoms aus.

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Schritt 1.1.1

Klammere den ggT $a^{2}$ aus dem Ausdruck $a^{8}$ aus.

$a^{2} (a^{6}) - a^{2} b^{6}$

Schritt 1.1.2

Klammere den ggT $a^{2}$ aus dem Ausdruck $- a^{2} b^{6}$ aus.

$a^{2} (a^{6}) + a^{2} (- b^{6})$

Schritt 1.2

Da alle Terme einen gemeinsamen Faktor $a^{2}$ besitzen, kann dieser aus jedem Term herausfaktorisiert werden.

$a^{2} (a^{6} - b^{6})$

Schritt 2

Schreibe $a^{6}$ als ${(a^{2})}^{3}$ um.

$a^{2} ({(a^{2})}^{3} - b^{6})$

Schritt 3

Schreibe $b^{6}$ als ${(b^{2})}^{3}$ um.

$a^{2} ({(a^{2})}^{3} - {(b^{2})}^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a^{2}$ und $b = b^{2}$ .

$a^{2} ((a^{2} - b^{2}) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$a^{2} ((a + b) (a - b) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2}))$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{2 \cdot 2} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2}))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + {(b^{2})}^{2}))$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{2 \cdot 2}))$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}))$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1.1

Forme den mittleren Term um.

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} - a^{2} b^{2} + b^{4}))$

Schritt 5.4.1.2

Ordne Terme um.

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} b^{2}))$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$a^{2} ((a + b) (a - b) ({(a^{2} + b^{2})}^{2} - a^{2} b^{2}))$

Schritt 5.4.1.4

Schreibe $a^{2} b^{2}$ als ${(a b)}^{2}$ um.

$a^{2} ((a + b) (a - b) ({(a^{2} + b^{2})}^{2} - {(a b)}^{2}))$

Schritt 5.4.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a^{2} + b^{2}$ und $b = a b$ .

$a^{2} ((a + b) (a - b) ((a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - (a b))))$

Schritt 5.4.1.6

Entferne die Klammern.

$a^{2} ((a + b) (a - b) ((a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - a b)))$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$a^{2} ((a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - a b))$