Algebra Beispiele

$2 x^{2} - 21 x + 4 \geq - 7 x - 8$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $7 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} - 21 x + 4 + 7 x \geq - 8$

Schritt 1.2

Addiere $- 21 x$ und $7 x$ .

$2 x^{2} - 14 x + 4 \geq - 8$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - 14 x + 4 = - 8$

Schritt 3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 14 x + 4 + 8 = 0$

Schritt 4

Addiere $4$ und $8$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 14 x + 12$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 14 x + 12 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 7 x) + 12 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 7 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 6$ heraus.

$2 (x^{2} - 7 x + 6) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 6) (x - 1)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 6) (x - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 6) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 1$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} - 21 \cdot 0 + 4 \geq - 7 \cdot 0 - 8$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $- 8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(4)}^{2} - 21 \cdot 4 + 4 \geq - 7 \cdot 4 - 8$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $- 36$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(8)}^{2} - 21 \cdot 8 + 4 \geq - 7 \cdot 8 - 8$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 36$ ist größer als die rechte Seite $- 64$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Wahr

$1 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < 1$ Wahr

$1 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 1$ oder $x \geq 6$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq 1 or x \geq 6$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1] \cup [6, \infty)$

Schritt 14