Algebra Beispiele

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) {(3 z^{2} - 6)}^{- 1}$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 z^{2} - 6}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 z^{2} - 6$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 z^{2}$ heraus.

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2}) - 6}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 z^{2} + 3 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 z^{2} + 3 \cdot - 2$ heraus.

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $6 z^{4} + 3 z^{2} - 9$ mit $\frac{1}{3 (z^{2} - 2)}$ .

$\frac{6 z^{4} + 3 z^{2} - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 z^{4} + 3 z^{2} - 9$ und $3$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6 z^{4}$ heraus.

$\frac{3 (2 z^{4}) + 3 z^{2} - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 z^{2}$ heraus.

$\frac{3 (2 z^{4}) + 3 (z^{2}) - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 z^{4}) + 3 (z^{2})$ heraus.

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2}) - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2}) + 3 \cdot - 3}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 z^{4} + z^{2}) + 3 (- 3)$ heraus.

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2} - 3)}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2} - 3)}{3 (z^{2} - 2)}$

Schritt 2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $z^{4}$ als ${(z^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.2

Es sei $u = z^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $z^{2}$ .

$\frac{2 u^{2} + u - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 u^{2} + 1 u - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 u^{2} - 2 u) + 3 u - 3}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 u (u - 1) + 3 (u - 1)}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$\frac{(u - 1) (2 u + 3)}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.4

Ersetze alle $u$ durch $z^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(z^{2} - 1^{2}) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$

Schritt 3.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 1$ .

$\frac{(z + 1) (z - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$