Algebra Beispiele

$3 x - \frac{1}{2 x - 1} = 4$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 2 x - 1, 1$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$1, 2 x - 1, 1$

Schritt 1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 x - 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $3 x - \frac{1}{2 x - 1} = 4$ mit $2 x - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $3 x - \frac{1}{2 x - 1} = 4$ mit $2 x - 1$ .

$3 x (2 x - 1) - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 \cdot 2 x^{2} - 3 x - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} - 3 x - \frac{1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 x - 1}$ in den Zähler.

$6 x^{2} - 3 x + \frac{- 1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 3 x + \frac{- 1}{2 x - 1} (2 x - 1) = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{2} - 3 x - 1 = 4 (2 x - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 3 x - 1 = 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Schritt 2.3.2

Multipliziere.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$6 x^{2} - 3 x - 1 = 8 x + 4 \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} - 3 x - 1 = 8 x - 4$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 3 x - 1 - 8 x = - 4$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 3 x$ .

$6 x^{2} - 11 x - 1 = - 4$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 11 x - 1 + 4 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $- 1$ und $4$ .

$6 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 3 = 18$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$6 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 2$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (- 2 - 9) x + 3 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 9 x + 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} - 2 x) - 9 x + 3 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3.6

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.7

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 3.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{3}, 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{2}$