Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y + 1}$ als ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

Schritt 3.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4 x^{2} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4 x^{2} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.6.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.3.1.1.2.4

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ als $2 x + 1$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 1}$ als ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.6.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Schritt 5.3.7

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Schritt 5.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$