Algebra Beispiele

$\frac{- 9 x}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \div \frac{x + 7}{x^{2} - 15 x + 56}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{- 9 x}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x \cdot x - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x \cdot x + x \cdot - 8} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 8$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $9 x$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 9 x (4 x) - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $9 x$ aus $- 189 x$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 9 x (4 x) + 9 x (- 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x^{2}) + 9 x (4 x)$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2} + 4 x) + 9 x (- 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x^{2} + 4 x) + 9 x (- 21)$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $4$ ist.

$- 3, 7$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $21$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 7, - 3$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x - 3) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x (x - 3) (x + 7)$ heraus.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9 x}{x - 8} \cdot \frac{(9 (x - 3)) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{- 9 x}{x - 8}$ mit $\frac{(9 (x - 3)) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)}$ .

$\frac{- 9 x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$\frac{- 81 x ((x - 3) (x + 7))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $- 81 x ((x - 3) (x + 7))$ heraus.

$\frac{(x + 7) (- 81 x (x - 3))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) (- 81 x (x - 3))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 81 x (x - 3)}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} (x^{2} - 15 x + 56)$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 81 x (x - 3)}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} (x^{2} - 15 x + 56)$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 81 x}{(x - 8) (x - 7)} (x^{2} - 15 x + 56)$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (x^{2} - 15 x + 56)$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x^{2} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x^{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{2} (81 x)}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{x \cdot x^{2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{1 + 2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2

Multipliziere $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x)$ .

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + 15 \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $15$ und $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{15 (81 x)}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $81$ mit $15$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.4

Kombiniere $\frac{1215 x}{(x - 8) (x - 7)}$ und $x$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x \cdot x}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 (x^{1} x)}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 (x^{1} x^{1})}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{1 + 1}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Schritt 6.3

Multipliziere $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $56$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - 56 \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $- 56$ und $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 56 (81 x)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $81$ mit $- 56$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Bringe $81$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- \frac{81 \cdot x^{3}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{81 x^{3}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 81 x^{3} + 1215 x^{2} - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $81 x$ aus $- 81 x^{3} + 1215 x^{2} - 4536 x$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $81 x$ aus $- 81 x^{3}$ heraus.

$\frac{81 x (- x^{2}) + 1215 x^{2} - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $81 x$ aus $1215 x^{2}$ heraus.

$\frac{81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x) - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $81 x$ aus $- 4536 x$ heraus.

$\frac{81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x) + 81 x (- 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.1.4

Faktorisiere $81 x$ aus $81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x)$ heraus.

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 x) + 81 x (- 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $81 x$ aus $81 x (- x^{2} + 15 x) + 81 x (- 56)$ heraus.

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 56 = 56$ und deren Summe gleich $b = 15$ ist.

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Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 x$ heraus.

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 (x) - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe $15$ um als $7$ plus $8$

$\frac{81 x (- x^{2} + (7 + 8) x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{81 x (- x^{2} + 7 x + 8 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{81 x ((- x^{2} + 7 x) + 8 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{81 x (x (- x + 7) - 8 (- x + 7))}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 7$ .

$\frac{81 x ((- x + 7) (x - 8))}{(x - 8) (x - 7)}$

$\frac{81 x (- x + 7) (x - 8)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 8$ .

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 x (- x + 7) (x - 8)}{(x - 8) (x - 7)}$

Schritt 10.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81 x (- x + 7)}{x - 7}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 7$ und $x - 7$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{81 x (- (x) + 7)}{x - 7}$

Schritt 10.2.2

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{81 x (- (x) - 1 (- 7))}{x - 7}$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{81 x (- (x - 7))}{x - 7}$

Schritt 10.2.4

Schreibe $- (x - 7)$ als $- 1 (x - 7)$ um.

$\frac{81 x (- 1 (x - 7))}{x - 7}$

Schritt 10.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 x (- 1 (x - 7))}{x - 7}$

Schritt 10.2.6

Dividiere $81 x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$81 x \cdot (- 1)$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$- 81 x$