Algebra Beispiele

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Schritt 2.1.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ um.

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $4$ ist.

$- 4, 8$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Schritt 2.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.3.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.3.7

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.7.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 2.3.7.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 8$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} + 4 x > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 4 x$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + 4 x = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 4$ heraus.

$x (x + 4) = 0$

Schritt 3.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4$

Schritt 3.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 3.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 3.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Schritt 3.2.8.1.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Schritt 3.2.8.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 3.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Schritt 3.2.8.3.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 3.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $x > 0$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Schritt 5.2.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.2.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.2.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $3.5849625$ ist kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Schritt 5.5.3

Die linke Seite $5.90689059$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 4$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(0, 4)$

Schritt 8