Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = a^{2}$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + y^{2} = a^{2}$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} = a^{2}$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} - a^{2} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $r \cos (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {(r \sin (θ))}^{2} - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Produktregel auf $r \sin (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.3

Ordne Terme um.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$r^{2} \cdot 1 - a^{2} = 0$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} - a^{2} = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = a$ .

$(r + a) (r - a) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r + a = 0$

$r - a = 0$

Schritt 3.5

Setze $r + a$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $r + a$ gleich $0$ .

$r + a = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - a$

Schritt 3.6

Setze $r - a$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $r - a$ gleich $0$ .

$r - a = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = a$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r + a) (r - a) = 0$ wahr machen.

$r = - a$

$r = a$

$r = - a$

$r = a$