Algebra Beispiele

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (x) = x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x$

Schritt 5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (1)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $3 x (x + 1)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x)$

Schritt 7

Addiere $- x$ und $3 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2})$

Schritt 8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 8.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = (x + 1) {(x + 1)}^{2}$