Algebra Beispiele

$\log_{3} (x + 9) < 4$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{3} (x + 9) = 4$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log_{3} (x + 9) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{4} = x + 9$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x + 9 = 3^{4}$ um.

$x + 9 = 3^{4}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x + 9 = 81$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 81 - 9$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $81$ .

$x = 72$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{3} (x + 9) - 4$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{3} (x + 9)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x + 9 > 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - 9$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- 9, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 9$

$- 9 < x < 72$

$x > 72$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ((- 12) + 9) < 4$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 9 < x < 72$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 9 < x < 72$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ((0) + 9) < 4$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $2$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 72$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 72$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 74$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $74$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ((74) + 9) < 4$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $4.02220205$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < 72$ Wahr

$x > 72$ Falsch

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < 72$ Wahr

$x > 72$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 9 < x < 72$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 9 < x < 72$

Intervallschreibweise:

$(- 9, 72)$

Schritt 8