Algebra Beispiele

$f (x) = 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{x} - 3$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{x} - 3$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{x} - 3 = 0$ um.

$3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{x} - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$3 \cdot \frac{1^{x}}{4^{x}} - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot \frac{1}{4^{x}} - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4^{x}}$ .

$\frac{3}{4^{x}} - 3 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{4^{x}} = 3$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $4^{x}$ .

$\frac{3}{4^{x}} \cdot 4^{x} = 3 \cdot 4^{x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4^{x}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4^{x}} \cdot 4^{x} = 3 \cdot 4^{x}$

Schritt 1.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = 3 \cdot 4^{x}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cdot 4^{x} = 3$ um.

$3 \cdot 4^{x} = 3$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \cdot 4^{x} = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cdot 4^{x} = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $4^{x}$ durch $1$ .

$4^{x} = \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$4^{x} = 1$

Schritt 1.2.6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Schritt 1.2.6.4

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.5.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Schritt 1.2.6.6

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = 0$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = 0$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 1.2.6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.6.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.6.3.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Schritt 1.2.6.6.3.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.6.6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Schritt 1.2.6.6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.6.6.3.4

Dividiere $0$ durch $\ln (2)$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{0} - 3$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{0} - 3$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{0} - 3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$y = 3 \cdot \frac{1^{0}}{4^{0}} - 3$

Schritt 2.2.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 3 \cdot \frac{1}{4^{0}} - 3$

Schritt 2.2.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 3 \cdot \frac{1}{1} - 3$

Schritt 2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 \cdot \frac{1}{1} - 3$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \cdot 1 - 3$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 - 3$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4