Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{1}{9} - x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{1}{9}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} \leq \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere $\frac{1}{9}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{1}{9}$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$| x | \leq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \frac{1}{| 3 |}$

Schritt 2.4.2.1.3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | \leq \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Schreibe $| x | \leq \frac{1}{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \frac{1}{3}$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \frac{1}{3}$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \frac{1}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{1}{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \frac{1}{3}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

Schritt 2.7

Löse $- x \leq \frac{1}{3}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \frac{1}{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \frac{1}{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{3}$ als $- \frac{1}{3}$ um.

$x \geq - \frac{1}{3}$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \frac{1}{3}$ und $x < 0$ .

$- \frac{1}{3} \leq x < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \frac{1}{3}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Wertebereich: $[0, \frac{1}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Schritt 6