Algebra Beispiele

$4 x^{2} + 1 \geq 4 x$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} + 1 - 4 x \geq 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} + 1 - 4 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Ordne Terme um.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2} = 0$

Schritt 3.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Schritt 3.5

Schreibe das Polynom neu.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(0)}^{2} + 1 \geq 4 (0)$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(3)}^{2} + 1 \geq 4 (3)$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $37$ ist größer als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

$x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq \frac{1}{2}$ oder $x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 9

Vereine die Intervalle.

Alle reellen Zahlen

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 11