Algebra Beispiele

$- 45 x^{4} + 42 x^{3} + 1272 x^{2} - 1050 x - 3675$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $- 45 x^{4} + 42 x^{3} + 1272 x^{2} - 1050 x - 3675$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 45 x^{4}$ heraus.

$3 (- 15 x^{4}) + 42 x^{3} + 1272 x^{2} - 1050 x - 3675$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $42 x^{3}$ heraus.

$3 (- 15 x^{4}) + 3 (14 x^{3}) + 1272 x^{2} - 1050 x - 3675$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $1272 x^{2}$ heraus.

$3 (- 15 x^{4}) + 3 (14 x^{3}) + 3 (424 x^{2}) - 1050 x - 3675$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 1050 x$ heraus.

$3 (- 15 x^{4}) + 3 (14 x^{3}) + 3 (424 x^{2}) + 3 (- 350 x) - 3675$

Schritt 1.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3675$ heraus.

$3 (- 15 x^{4}) + 3 (14 x^{3}) + 3 (424 x^{2}) + 3 (- 350 x) + 3 (- 1225)$

Schritt 1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 15 x^{4}) + 3 (14 x^{3})$ heraus.

$3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3}) + 3 (424 x^{2}) + 3 (- 350 x) + 3 (- 1225)$

Schritt 1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3}) + 3 (424 x^{2})$ heraus.

$3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3} + 424 x^{2}) + 3 (- 350 x) + 3 (- 1225)$

Schritt 1.8

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3} + 424 x^{2}) + 3 (- 350 x)$ heraus.

$3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3} + 424 x^{2} - 350 x) + 3 (- 1225)$

Schritt 1.9

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3} + 424 x^{2} - 350 x) + 3 (- 1225)$ heraus.

$3 (- 15 x^{4} + 14 x^{3} + 424 x^{2} - 350 x - 1225)$

Schritt 2

Gruppiere die Terme um.

$3 (14 x^{3} - 350 x - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 3

Faktorisiere $14 x$ aus $14 x^{3} - 350 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $14 x$ aus $14 x^{3}$ heraus.

$3 (14 x (x^{2}) - 350 x - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 3.2

Faktorisiere $14 x$ aus $- 350 x$ heraus.

$3 (14 x (x^{2}) + 14 x (- 25) - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 3.3

Faktorisiere $14 x$ aus $14 x (x^{2}) + 14 x (- 25)$ heraus.

$3 (14 x (x^{2} - 25) - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 (14 x (x^{2} - 5^{2}) - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$3 (14 x ((x + 5) (x - 5)) - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) - 15 x^{4} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) - 15 {(x^{2})}^{2} + 424 x^{2} - 1225)$

Schritt 7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) - 15 u^{2} + 424 u - 1225)$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 15 \cdot - 1225 = 18375$ und deren Summe gleich $b = 424$ ist.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $424$ aus $424 u$ heraus.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) - 15 u^{2} + 424 (u) - 1225)$

Schritt 8.1.2

Schreibe $424$ um als $49$ plus $375$

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) - 15 u^{2} + (49 + 375) u - 1225)$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) - 15 u^{2} + 49 u + 375 u - 1225)$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 u^{2} + 49 u) + 375 u - 1225)$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + u (- 15 u + 49) - 25 (- 15 u + 49))$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 15 u + 49$ .

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 u + 49) (u - 25))$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 x^{2} + 49) (x^{2} - 25))$

Schritt 10

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 x^{2} + 49) (x^{2} - 5^{2}))$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 x^{2} + 49) ((x + 5) (x - 5)))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 x^{2} + 49) (x + 5) (x - 5))$

Schritt 12

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $14 x (x + 5) (x - 5) + (- 15 x^{2} + 49) (x + 5) (x - 5)$ heraus.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $14 x (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$3 ((x + 5) (x - 5) (14 x) + (- 15 x^{2} + 49) (x + 5) (x - 5))$

Schritt 12.2

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(- 15 x^{2} + 49) (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$3 ((x + 5) (x - 5) (14 x) + (x + 5) (x - 5) (- 15 x^{2} + 49))$

Schritt 12.3

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(x + 5) (x - 5) (14 x) + (x + 5) (x - 5) (- 15 x^{2} + 49)$ heraus.

$3 ((x + 5) (x - 5) (14 x - 15 x^{2} + 49))$

Schritt 13

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 ((x + 5) (x - 5) (14 u - 15 u^{2} + 49))$

Schritt 14

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 14.1

Stelle die Terme um.

$3 ((x + 5) (x - 5) (- 15 u^{2} + 14 u + 49))$

Schritt 14.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 15 \cdot 49 = - 735$ und deren Summe gleich $b = 14$ ist.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14 u$ heraus.

$3 ((x + 5) (x - 5) (- 15 u^{2} + 14 (u) + 49))$

Schritt 14.2.2

Schreibe $14$ um als $- 21$ plus $35$

$3 ((x + 5) (x - 5) (- 15 u^{2} + (- 21 + 35) u + 49))$

Schritt 14.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 ((x + 5) (x - 5) (- 15 u^{2} - 21 u + 35 u + 49))$

Schritt 14.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 14.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((x + 5) (x - 5) ((- 15 u^{2} - 21 u) + 35 u + 49))$

Schritt 14.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 ((x + 5) (x - 5) (3 u (- 5 u - 7) - 7 (- 5 u - 7)))$

Schritt 14.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 u - 7$ .

$3 ((x + 5) (x - 5) ((- 5 u - 7) (3 u - 7)))$

Schritt 15

Faktorisiere.

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Schritt 15.1

Faktorisiere.

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Schritt 15.1.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 ((x + 5) (x - 5) ((- 5 x - 7) (3 x - 7)))$

Schritt 15.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 ((x + 5) (x - 5) (- 5 x - 7) (3 x - 7))$

Schritt 15.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x + 5) (x - 5) (- 5 x - 7) (3 x - 7)$

Schritt 16

Faktorisiere.

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Schritt 16.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x - 7$ heraus.

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Schritt 16.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$3 (x + 5) (x - 5) (- (5 x) - 7) (3 x - 7)$

Schritt 16.1.2

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$3 (x + 5) (x - 5) (- (5 x) - 1 (7)) (3 x - 7)$

Schritt 16.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (7)$ heraus.

$3 (x + 5) (x - 5) (- (5 x + 7)) (3 x - 7)$

Schritt 16.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x + 5) (x - 5) \cdot - 1 (5 x + 7) (3 x - 7)$

Schritt 17

Faktorisiere.

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Schritt 17.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 17.1.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- ((3 (x + 5) (x - 5) (5 x + 7)) (3 x - 7))$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 ((((x + 5) (x - 5)) (5 x + 7)) (3 x - 7))$

Schritt 17.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x + 5) (x - 5) (5 x + 7) (3 x - 7)$