Algebra Beispiele

$\frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{2}{x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} + x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x \cdot x + x}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x \cdot x + x^{1}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x (x + 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x (x + 1)}$

Schritt 3

Um $\frac{2}{x (x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1) x} + \frac{2}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x (x + 1)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1) x} + \frac{2 (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) (x - 1) x$ um.

$\frac{x}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 2 (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x + 2 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$