Algebra Beispiele

$\frac{4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 5 x - 36}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 9, 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 x (x^{2}) + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $56 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (x^{2}) + 4 x (14 x) + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $160 x$ heraus.

$\frac{4 x (x^{2}) + 4 x (14 x) + 4 x (40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (14 x)$ heraus.

$\frac{4 x (x^{2} + 14 x) + 4 x (40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2} + 14 x) + 4 x (40)$ heraus.

$\frac{4 x (x^{2} + 14 x + 40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 14 x + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $14$ ist.

$4, 10$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 x ((x + 4) (x + 10))}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{9^{2} - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9$ und $b = x$ .

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 4.1.2

Dividiere $4 x (x + 4)$ durch $1$ .

$4 x (x + 4) \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $4 x (x + 4) \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}$ heraus.

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x - 9) (x + 4)$ heraus.

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x + 4) (x - 9)}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x + 4) (x - 9)}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Schritt 4.3

Kombiniere $4$ und $\frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}$ .

$x \cdot \frac{4 ((9 + x) (9 - x))}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Schritt 4.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4 ((9 + x) (9 - x))}{- x - 9}$ .

$\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x)))}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x)))}{- x - 9}$ mit $\frac{3 x}{x - 9}$ .

$\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x))) (3 x)}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} (12 ((9 + x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9 + x$ und $- x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{x^{2} (12 ((- 1 (- 9) + x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{x^{2} (12 ((- 1 (- 9) - 1 (- x)) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 9) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 9 - x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- x - 9) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- x - 9) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Schritt 9.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (9 - x)))}{x - 9}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9 - x$ und $x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9) - x)))}{x - 9}$

Schritt 10.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9) - (x))))}{x - 9}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 9) - (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9 + x))))}{x - 9}$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (x - 9))))}{x - 9}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (x - 9))))}{x - 9}$

Schritt 10.6

Dividiere $x^{2} (12 (- 1 \cdot (- 1)))$ durch $1$ .

$x^{2} (12 (- 1 \cdot (- 1)))$

Schritt 11

Multipliziere $12 (- 1 \cdot (- 1))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} (12 \cdot 1)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot 12$

Schritt 12

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$12 x^{2}$