Algebra Beispiele

$9 x^{2} - 24 x + 16 = {(a x - b)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(a x - b)}^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$ um.

${(a x - b)}^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$a x - b = \pm \sqrt{9 x^{2} - 24 x + 16}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{9 x^{2} - 24 x + 16}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$a x - b = \pm \sqrt{{(3 x)}^{2} - 24 x + 16}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a x - b = \pm \sqrt{{(3 x)}^{2} - 24 x + 4^{2}}$

Schritt 3.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$24 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 4$

Schritt 3.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$a x - b = \pm \sqrt{{(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 4 + 4^{2}}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 4$ .

$a x - b = \pm \sqrt{{(3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a x - b = \pm (3 x - 4)$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a x - b = 3 x - 4$

Schritt 4.2

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a x = 3 x - 4 + b$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $a x = 3 x - 4 + b$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $a x = 3 x - 4 + b$ durch $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- 4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- 4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{3 x}{x} + \frac{- 4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{3 x}{x} + \frac{- 4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$a = 3 + \frac{- 4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = 3 - \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a x - b = - (3 x - 4)$

Schritt 4.5

Vereinfache $- (3 x - 4)$ .

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Schritt 4.5.1

Forme um.

$a x - b = 0 + 0 - (3 x - 4)$

Schritt 4.5.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$a x - b = - (3 x - 4)$

Schritt 4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a x - b = - (3 x) - - 4$

Schritt 4.5.4

Multipliziere.

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Schritt 4.5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a x - b = - 3 x - - 4$

Schritt 4.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$a x - b = - 3 x + 4$

Schritt 4.6

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a x = - 3 x + 4 + b$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $a x = - 3 x + 4 + b$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $a x = - 3 x + 4 + b$ durch $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{- 3 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x}{x} = \frac{- 3 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 3 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{- 3 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.7.3.1.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$a = - 3 + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

Schritt 4.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = 3 - \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

$a = - 3 + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

$a = 3 - \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$

$a = - 3 + \frac{4}{x} + \frac{b}{x}$