Algebra Beispiele

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \div \frac{x^{2} + 9 x - 10}{x^{2} - 100}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{4 x^{2} - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x^{2} - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} - 40 x$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x) - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 40 x$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x) + 4 x (- 10)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (- 10)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2} + 9 x - 10}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} + 9 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $9$ ist.

$- 1, 10$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{(x - 1) (x + 10)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{(x - 1) (x + 10)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{(x - 1) (x + 10)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 10$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x - 10$ aus $4 x (x - 10)$ heraus.

$\frac{x + 1}{(x - 10) (4 x)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $x - 10$ aus $(x + 10) (x - 10)$ heraus.

$\frac{x + 1}{(x - 10) (4 x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 10)}{x + 10}$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{(x - 10) (4 x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 10)}{x + 10}$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{4 x} \cdot \frac{x + 10}{x + 10}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{4 x}$ mit $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 10)}{4 x (x + 10)}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 10)}{4 x (x + 10)}$

Schritt 7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{4 x}$