Algebra Beispiele

$3 x^{2} + 45 x + 159 < - 3$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} + 45 x + 159 = - 3$

Schritt 2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 45 x + 159 + 3 = 0$

Schritt 3

Addiere $159$ und $3$ .

$3 x^{2} + 45 x + 162 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 45 x + 162$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) + 45 x + 162 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $45 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (15 x) + 162 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $162$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (15 x) + 3 \cdot 54 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (15 x)$ heraus.

$3 (x^{2} + 15 x) + 3 \cdot 54 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 15 x) + 3 \cdot 54$ heraus.

$3 (x^{2} + 15 x + 54) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 15 x + 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $54$ und deren Summe $15$ ist.

$6, 9$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x + 6) (x + 9)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x + 6) (x + 9) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 6

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 7

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x + 6) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 6, - 9$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 6$

$x > - 6$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 12)}^{2} + 45 (- 12) + 159 < - 3$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $51$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 9 < x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 9 < x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 8)}^{2} + 45 (- 8) + 159 < - 3$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 9$ ist kleiner als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(0)}^{2} + 45 (0) + 159 < - 3$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $159$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < - 6$ Wahr

$x > - 6$ Falsch

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < - 6$ Wahr

$x > - 6$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 9 < x < - 6$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 9 < x < - 6$

Intervallschreibweise:

$(- 9, - 6)$

Schritt 13