Algebra Beispiele

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 36}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 6^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 216$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 216$ heraus.

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot - 36}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 \cdot - 36$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} - 36)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 2.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{6 (x^{2} - 6^{2})}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 48$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 8, 6$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{8^{2} - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = x$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 13 x + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $13$ ist.

$5, 8$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 6$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + x$ und $x + 8$ .

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Schritt 6.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{8 - x}{x + 5} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{6 (x - 6)}{x - 8}$ mit $\frac{8 - x}{x + 5}$ .

$\frac{6 (x - 6) (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x - 6$ aus $6 (x - 6) (8 - x)$ heraus.

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $x - 6$ aus $(x + 6) (x - 6)$ heraus.

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

Schritt 6.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

Schritt 6.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{x + 6}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)}$ mit $\frac{- x - 5}{x + 6}$ .

$\frac{6 (8 - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - x$ und $x - 8$ .

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Schritt 6.6.1

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{6 (- 1 (- 8) - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 (- 1 (- 8) - (x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 8) - (x)$ heraus.

$\frac{6 (- 1 (- 8 + x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- x - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 5$ und $x + 5$ .

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.7.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 1 (5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.7.4

Schreibe $- (x + 5)$ als $- 1 (x + 5)$ um.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Schritt 6.7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{x + 6}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 \cdot - 1}{x + 6}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{6}{x + 6}$