Algebra Beispiele

$x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

Schritt 1

Klammere den ggT $x$ aus $x^{3} + 2 x^{2} + x$ aus.

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Schritt 1.1

Klammere den ggT $x$ aus jedem Term des Polynoms aus.

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Schritt 1.1.1

Klammere den ggT $x$ aus dem Ausdruck $x^{3}$ aus.

$x (x^{2}) + 2 x^{2} + x$

Schritt 1.1.2

Klammere den ggT $x$ aus dem Ausdruck $2 x^{2}$ aus.

$x (x^{2}) + x (2 x) + x$

Schritt 1.1.3

Klammere den ggT $x$ aus dem Ausdruck $x$ aus.

$x (x^{2}) + x (2 x) + x (1)$

Schritt 1.2

Da alle Terme einen gemeinsamen Faktor $x$ besitzen, kann dieser aus jedem Term herausfaktorisiert werden.

$x (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 2

Wende die Regel von Descartes auf den inneren Ausdruck $x^{2} + 2 x + 1$ an.

$x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 4

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $0$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $0$ positive Nullstellen (Vorzeichenregel von Descartes).

Positive Wurzeln: $0$

Schritt 5

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 (- x) + 1$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} + 2 (- x) + 1$

Schritt 6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = 1 x^{2} + 2 (- x) + 1$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = x^{2} + 2 (- x) + 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 7

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $2$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $2 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$

Schritt 8

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $0$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $2$ oder $0$ .

Positive Wurzeln: $0$

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$