Algebra Beispiele

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = 2 y + 1$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - x - 2 y = 1$

Schritt 2.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 2 y = 1 + x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - 2 y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - 2 y = 1 + x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 2$ heraus.

$y (x - 2) = 1 + x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = 1 + x$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = 1 + x$ durch $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Schritt 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

Schritt 4.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

Schritt 4.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.7.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.7.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.7.4

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Schritt 4.2.8.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Schritt 4.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

Schritt 4.2.8.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Schritt 4.2.8.5

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Schritt 4.2.8.6

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.9.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

Schritt 4.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

Schritt 4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ heraus.

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Schritt 4.3.6.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ heraus.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 1$ heraus.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ heraus.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6

Schreibe $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6.3

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6.5

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

Schritt 4.3.7.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

Schritt 4.3.7.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

Schritt 4.3.7.6

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

Schritt 4.3.7.7

Addiere $0$ und $3$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

Schritt 4.3.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $\frac{3 x}{x - 2}$ aus $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ heraus.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Schritt 4.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Schritt 4.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Schritt 4.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 4.3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 4.3.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$