Algebra Beispiele

$- 3 x^{2} - 42 x - 51 = - 12 x$

Schritt 1

Addiere $12 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} - 42 x - 51 + 12 x = 0$

Schritt 2

Addiere $- 42 x$ und $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 30 x - 51 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} - 30 x - 51$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$3 (- x^{2}) - 30 x - 51 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 30 x$ heraus.

$3 (- x^{2}) + 3 (- 10 x) - 51 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 51$ heraus.

$3 (- x^{2}) + 3 (- 10 x) + 3 (- 17) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (- 10 x)$ heraus.

$3 (- x^{2} - 10 x) + 3 (- 17) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} - 10 x) + 3 (- 17)$ heraus.

$3 (- x^{2} - 10 x - 17) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 (- x^{2} - 10 x - 17) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- x^{2} - 10 x - 17) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 10 x - 17)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- x^{2} - 10 x - 17)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- x^{2} - 10 x - 17$ durch $1$ .

$- x^{2} - 10 x - 17 = \frac{0}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$- x^{2} - 10 x - 17 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 10$ und $c = - 17$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 17)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 17$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 17$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 68}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $68$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = \frac{5 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 7.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (5 \pm 2 \sqrt{2})$

Schritt 7.5

Schreibe $- 1 \cdot (5 \pm 2 \sqrt{2})$ als $- (5 \pm 2 \sqrt{2})$ um.

$x = - (5 \pm 2 \sqrt{2})$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 17$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 17$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 68}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $68$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = \frac{5 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 8.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (5 \pm 2 \sqrt{2})$

Schritt 8.5

Schreibe $- 1 \cdot (5 \pm 2 \sqrt{2})$ als $- (5 \pm 2 \sqrt{2})$ um.

$x = - (5 \pm 2 \sqrt{2})$

Schritt 8.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - (5 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 5 - (2 \sqrt{2})$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - 5 - (2 \sqrt{2})$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = - 5 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 17$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 17$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 68}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $68$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = \frac{5 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 9.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (5 \pm 2 \sqrt{2})$

Schritt 9.5

Schreibe $- 1 \cdot (5 \pm 2 \sqrt{2})$ als $- (5 \pm 2 \sqrt{2})$ um.

$x = - (5 \pm 2 \sqrt{2})$

Schritt 9.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - (5 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 5 - (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 9.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - 5 - (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = - 5 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 5 - 2 \sqrt{2}, - 5 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 5 - 2 \sqrt{2}, - 5 + 2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = - 7.82842712 \dots, - 2.17157287 \dots$