Algebra Beispiele

Vereinfache $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} + 6 x}{x^{2} - x}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x \cdot x - x}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x \cdot x + 6 x}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot 6}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 6$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x + 6)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x (x - 1)$ heraus.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) x}{x (x + 6)}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) x}{x (x + 6)}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + 2) \frac{x}{x (x + 6)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 2) \frac{x}{x (x + 6)}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 2) \frac{1}{x + 6}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x + 2$ mit $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x + 6}$