Algebra Beispiele

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 4 (x) - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ um als $- 1$ plus $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 1 + 5) x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} - 1 x + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 x^{2} - 1 x) + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (5 x - 1) + 1 (5 x - 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x) + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(5 x - 1) (x + 1)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $2 (x + 3)$ heraus.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x + 3$ aus $(x - 1) (x + 3)$ heraus.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x - 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{5 x - 1}{2}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x - 1}{2}$