Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $6$ ist.

$2, 4$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 2) (x + 4)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 2) (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 4) (x + 2)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 4) (x + 2)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{x - 2}$ mit $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x + 2)}$