Algebra Beispiele

$\sqrt{3 x - 8} + 1 = \sqrt{x + 5}$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x - 8} = \sqrt{x + 5} - 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x - 8}}^{2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 8}$ als ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x - 8)}^{1} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 x - 8 = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$ als $(\sqrt{x + 5} - 1) (\sqrt{x + 5} - 1)$ um.

$3 x - 8 = (\sqrt{x + 5} - 1) (\sqrt{x + 5} - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{x + 5} - 1) (\sqrt{x + 5} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 8 = \sqrt{x + 5} (\sqrt{x + 5} - 1) - 1 (\sqrt{x + 5} - 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 8 = \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{x + 5} - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 8 = \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x + 5}$ mit $1$ .

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{1} \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x + 5}$ mit $1$ .

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{1} {\sqrt{x + 5}}^{1} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{2} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ als $x + 5$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 x - 8 = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{1} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$3 x - 8 = x + 5 + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{x + 5}$ .

$3 x - 8 = x + 5 - 1 \cdot \sqrt{x + 5} - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \sqrt{x + 5}$ als $- \sqrt{x + 5}$ um.

$3 x - 8 = x + 5 - \sqrt{x + 5} - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \sqrt{x + 5}$ als $- \sqrt{x + 5}$ um.

$3 x - 8 = x + 5 - \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x - 8 = x + 5 - \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5} + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $5$ und $1$ .

$3 x - 8 = x + 6 - \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5}$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $\sqrt{x + 5}$ von $- \sqrt{x + 5}$ .

$3 x - 8 = x + 6 - 2 \sqrt{x + 5}$

Schritt 4

Löse nach $- 2 \sqrt{x + 5}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x + 6 - 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8$ um.

$x + 6 - 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 2 \sqrt{x + 5}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 - 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8 - x$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8 - x - 6$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$- 2 \sqrt{x + 5} = 2 x - 8 - 6$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $6$ von $- 8$ .

$- 2 \sqrt{x + 5} = 2 x - 14$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 2 \sqrt{x + 5})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 2)}^{2} {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 5)}^{1} = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 5) = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 5 = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$4 x + 20 = {(2 x - 14)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x - 14)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 14)}^{2}$ als $(2 x - 14) (2 x - 14)$ um.

$4 x + 20 = (2 x - 14) (2 x - 14)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 14) (2 x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 20 = 2 x (2 x - 14) - 14 (2 x - 14)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 20 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x - 14)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 20 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x + 20 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 x + 20 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 20 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 28 x - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 28 x - 28 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 28 x - 28 x + 196$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $28 x$ von $- 28 x$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 56 x + 196$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 56 x + 196 = 4 x + 20$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 56 x + 196 - 4 x = 20$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 56 x$ .

$4 x^{2} - 60 x + 196 = 20$

Schritt 7.3

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 60 x + 196 - 20 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $20$ von $196$ .

$4 x^{2} - 60 x + 176 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 60 x + 176$ heraus.

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Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 60 x + 176 = 0$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 60 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 15 x) + 176 = 0$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $176$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (- 15 x) + 4 \cdot 44 = 0$

Schritt 7.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 15 x)$ heraus.

$4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 44 = 0$

Schritt 7.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 44$ heraus.

$4 (x^{2} - 15 x + 44) = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 15 x + 44$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $44$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 11, - 4$

Schritt 7.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 11) (x - 4)) = 0$

Schritt 7.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 11) (x - 4) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 7.8

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 11) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 11, 4$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 x - 8} + 1 = \sqrt{x + 5}$ nicht erfüllen.

$x = 4$