Algebra Beispiele

$3 x^{\frac{16}{5}} - 192 x^{2} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{2}$ , der in jedem Term vorkommt.

$3 {(x^{2})}^{\frac{8}{5}} - 192 x^{2}$

Schritt 2

Ersetze $x^{2}$ durch $u$ .

$3 {(u)}^{\frac{8}{5}} - 192 u = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3 u$ aus $3 u^{\frac{8}{5}} - 192 u$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $3 u$ aus $3 u^{\frac{8}{5}}$ heraus.

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) - 192 u = 0$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $3 u$ aus $- 192 u$ heraus.

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64) = 0$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $3 u$ aus $3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64)$ heraus.

$3 u (u^{\frac{3}{5}} - 64) = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $u^{\frac{3}{5}}$ als ${(u^{\frac{1}{5}})}^{3}$ um.

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 64) = 0$

Schritt 3.1.3

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 4^{3}) = 0$

Schritt 3.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = u^{\frac{1}{5}}$ und $b = 4$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) ({(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.5.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.1.5.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.1.5.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{\frac{1}{5}}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.1.5.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 16)) = 0$

Schritt 3.1.5.1.4

Stelle die Terme um.

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16)) = 0$

Schritt 3.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.4

Setze $u^{\frac{1}{5}} - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u^{\frac{1}{5}} - 4$ gleich $0$ .

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{1}{5}} = 4$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 4^{5}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$u = 4^{5}$

Schritt 3.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$u = 1024$

Schritt 3.5

Setze $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ gleich $0$ .

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $u^{\frac{1}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$4 u^{\frac{1}{5}} {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 16$

Schritt 3.5.2.2

Ersetze $u^{\frac{1}{5}}$ durch $u$ .

$4 (u) {(u)}^{2} + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.3.1

Multipliziere $u$ mit ${(u)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Bewege ${(u)}^{2}$ .

$4 ({(u)}^{2} u) + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Mutltipliziere ${(u)}^{2}$ mit $u$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$4 ({(u)}^{2} u^{1}) + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 u^{2 + 1} + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 u^{3} + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 u^{3} = - 16$

Schritt 3.5.2.3.3

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u^{3} + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3.4

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{3} + 16$ heraus.

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Schritt 3.5.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{3}$ heraus.

$4 (u^{3}) + 16 = 0$

Schritt 3.5.2.3.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 u^{3} + 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 3.5.2.3.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{3} + 4 \cdot 4$ heraus.

$4 (u^{3} + 4) = 0$

Schritt 3.5.2.3.5

Teile jeden Ausdruck in $4 (u^{3} + 4) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (u^{3} + 4) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.5.2.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.5.2.3.5.2.1.2

Dividiere $u^{3} + 4$ durch $1$ .

$u^{3} + 4 = \frac{0}{4}$

Schritt 3.5.2.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$u^{3} + 4 = 0$

Schritt 3.5.2.3.6

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{3} = - 4$

Schritt 3.5.2.3.7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \sqrt[3]{- 4}$

Schritt 3.5.2.3.8

Vereinfache $\sqrt[3]{- 4}$ .

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Schritt 3.5.2.3.8.1

Schreibe $- 4$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 4$ um.

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Schritt 3.5.2.3.8.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$u = \sqrt[3]{- 1 (4)}$

Schritt 3.5.2.3.8.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 4}$

Schritt 3.5.2.3.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = - 1 \sqrt[3]{4}$

Schritt 3.5.2.3.8.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{4}$ als $- \sqrt[3]{4}$ um.

$u = - \sqrt[3]{4}$

Schritt 3.5.2.4

Ersetze $u$ durch $u$ .

$u^{\frac{1}{5}} = - \sqrt[3]{4}$

Schritt 3.5.2.5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.5.2.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.2.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.2.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$u = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.5.2.2.1

Vereinfache ${(- \sqrt[3]{4})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.2.5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt[3]{4}$ an.

$u = {(- 1)}^{5} {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$u = - {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{5}$ als $\sqrt[3]{4^{5}}$ um.

$u = - \sqrt[3]{4^{5}}$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.4

Potenziere $4$ mit $5$ .

$u = - \sqrt[3]{1024}$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.5

Schreibe $1024$ als $8^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.5.2.5.2.2.1.5.1

Faktorisiere $512$ aus $1024$ heraus.

$u = - \sqrt[3]{512 (2)}$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.5.2

Schreibe $512$ als $8^{3}$ um.

$u = - \sqrt[3]{8^{3} \cdot 2}$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = - (8 \sqrt[3]{2})$

Schritt 3.5.2.5.2.2.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$u = - 8 \sqrt[3]{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{2} = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Schritt 5

Löse nach $x^{2} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x^{2} = 1024$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1024}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{1024}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{32^{2}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 32$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 32$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 32$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 32, - 32$

Schritt 7

Löse nach $x^{2} = - 8 \sqrt[3]{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $- 8 \sqrt[3]{2}$ als ${(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{- 4 (2) \sqrt[3]{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $- 4$ als ${(2 i)}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, 32, - 32, 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$