Algebra Beispiele

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \csc (θ) \sec (θ)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\csc (θ) \sec (θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (θ)}$ mit $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 5

Multipliziere $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 5.1

Kombiniere $\cos (θ)$ und $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 5.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 5.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}$

Schritt 7

Subtrahiere $\frac{1}{\sin (θ)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8

Vereinfache $\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.2

Stelle $\cos^{2} (θ)$ und $- 1$ um.

$\sin (θ) + \frac{- 1 + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (θ)$ heraus.

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ heraus.

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ als $- (1 - \cos^{2} (θ))$ um.

$\sin (θ) + \frac{- (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (θ) + \frac{- \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (θ)$ und $\sin (θ)$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $- \sin^{2} (θ)$ heraus.

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Schritt 8.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Schritt 8.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Schritt 8.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) + \frac{- \sin (θ)}{1} = 0$

Schritt 8.8.2.4

Dividiere $- \sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

Schritt 8.9

Subtrahiere $\sin (θ)$ von $\sin (θ)$ .

$0 = 0$

Schritt 9

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Immer wahr

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$