Algebra Beispiele

$f (x) = {(x^{2} + 2)}^{2} + 3$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 2)}^{2}$ als $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ um.

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 1.1.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

Schritt 1.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

Schritt 1.2

Identifiziere die Exponenten der Variablen in jedem Term und addiere sie, um den Grad der einzelnen Terms zu ermitteln.

$x^{4} \to 4$

$4 x^{2} \to 2$

$7 \to 0$

Schritt 1.3

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$4$

Schritt 2

Da der Grad gerade ist, werden die Enden der Funktion in die gleiche Richtung zeigen.

Gerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 2)}^{2}$ als $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ um.

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Schritt 3.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Schritt 3.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 3.1.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

Schritt 3.1.1.3.2

Addiere $2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

Schritt 3.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{4}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient positiv ist, steigt der Graph nach rechts an.

Positive

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Steigt nach links und nach rechts an

Schritt 7