Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5 = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} = x - 5$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y - 3}$ als ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{1}{2} \cdot {(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{2} \cdot {(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ an.

$\frac{{({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y - 3)}^{1}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Vereinfache.

$\frac{y - 3}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 5)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{y - 3}{8} = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{y - 3}{8} = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Vereinfache $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = 8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $8$ .

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125$

Schritt 3.5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $75$ mit $8$ .

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x + 8 \cdot - 125$

Schritt 3.5.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 125$ .

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000$

Schritt 3.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000 + 3$

Schritt 3.5.3.2

Addiere $- 1000$ und $3$ .

$y = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}$ an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{2^{3}}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{8}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{8}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.9

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {\sqrt[3]{x - 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.10.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ als $x - 3$ um.

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Schritt 5.2.3.10.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.10.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.10.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.3

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.4

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 100 + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.5

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.10.6

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 1000 - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.11

Addiere $- 3$ und $1000$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.13

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.14

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 5 \cdot 2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.16

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.17

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}$ an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{2^{2}} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.18

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.19.1

Faktorisiere $4$ aus $- 120$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 4 (- 30) (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4}) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 4 \cdot (- 30 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4}) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 {(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.20

Schreibe ${(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}$ als $(\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ((\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.21

Multipliziere $(\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} (\sqrt[3]{x - 3} + 10) + 10 (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.21.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.21.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.22

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.22.1.1

Multipliziere $\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3}$ .

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Schritt 5.2.3.22.1.1.1

Potenziere $\sqrt[3]{x - 3}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.22.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x - 3}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.22.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.22.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{2} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.22.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.22.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 10 \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.22.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 100) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.22.2

Addiere $10 \sqrt[3]{x - 3}$ und $10 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 20 \sqrt[3]{x - 3} + 100) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.23

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 30 (20 \sqrt[3]{x - 3}) - 30 \cdot 100 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.24

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.24.1

Mutltipliziere $20$ mit $- 30$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \cdot 100 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.24.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $100$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.25

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 600 (\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5) - 997$

Schritt 5.2.3.26

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

Schritt 5.2.3.27

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

Schritt 5.2.3.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 5.2.3.29

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

Schritt 5.2.3.30

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.30.1

Faktorisiere $2$ aus $600$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 2 (300) (\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}) - 997$

Schritt 5.2.3.30.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 2 \cdot (300 (\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})) - 997$

Schritt 5.2.3.30.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 (\sqrt[3]{x - 3} + 10) - 997$

Schritt 5.2.3.31

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \cdot 10 - 997$

Schritt 5.2.3.32

Mutltipliziere $300$ mit $10$ .

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ von $30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 997$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$

Schritt 5.2.4.1.3

Addiere $- 3000$ und $3000$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 997$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 997$

Schritt 5.2.4.1.5

Subtrahiere $997$ von $997$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $600 \sqrt[3]{x - 3}$ von $300 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 300 \sqrt[3]{x - 3}$ und $300 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{(8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) - 3} + 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $3$ von $- 997$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000} + 5$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) - 120 x^{2} + 600 x - 1000} + 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 120 x^{2}$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 15 x^{2}) + 600 x - 1000} + 5$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $8$ aus $600 x$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) - 1000} + 5$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $8$ aus $- 1000$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2})$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

Schritt 5.3.3.2.6

Faktorisiere $8$ aus $8 (x^{3} - 15 x^{2}) + 8 (75 x)$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

Schritt 5.3.3.2.7

Faktorisiere $8$ aus $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x) + 8 \cdot - 125$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)} + 5$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ als $2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3})$ um.

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Schritt 5.3.3.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)} + 5$

Schritt 5.3.3.3.2

Schreibe $- 125$ als ${(- 5)}^{3}$ um.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3})} + 5$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}$ heraus.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 (\sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}})) + 5$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}} + 5$

Schritt 5.3.3.6

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.7.1

Faktorisiere $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.3.3.7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Schritt 5.3.3.7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Schritt 5.3.3.7.1.3

Setze $5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.3.7.1.3.1

Setze $5$ in das Polynom ein.

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 - 15 \cdot 25 + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $25$ .

$125 - 375 + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.5

Subtrahiere $375$ von $125$ .

$- 250 + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.6

Mutltipliziere $75$ mit $5$ .

$- 250 + 375 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.7

Addiere $- 250$ und $375$ .

$125 - 125$

Schritt 5.3.3.7.1.3.8

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$0$

Schritt 5.3.3.7.1.4

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}{x - 5}$

Schritt 5.3.3.7.1.5

Dividiere $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ durch $x - 5$ .

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Schritt 5.3.3.7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Schritt 5.3.3.7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$

Schritt 5.3.3.7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 5.3.3.7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 5.3.3.7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Schritt 5.3.3.7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Schritt 5.3.3.7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Schritt 5.3.3.7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

Schritt 5.3.3.7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 x^{2} + 50 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

Schritt 5.3.3.7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$

Schritt 5.3.3.7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Schritt 5.3.3.7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Schritt 5.3.3.7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	-	$125$

Schritt 5.3.3.7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x - 125$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$

Schritt 5.3.3.7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$
										$0$

Schritt 5.3.3.7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 5.3.3.7.1.6

Schreibe $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ als eine Menge von Faktoren.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 25)} + 5$

Schritt 5.3.3.7.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.7.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2})} + 5$

Schritt 5.3.3.7.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 5.3.3.7.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})} + 5$

Schritt 5.3.3.7.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

Schritt 5.3.3.7.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 5.3.3.7.3.1

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

Schritt 5.3.3.7.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{1 + 2}} + 5$

Schritt 5.3.3.7.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Schritt 5.3.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x - 5 + 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$