Algebra Beispiele

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{8}{x + 6}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{7}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{8}{x + 6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 5) (x + 6)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{x + 5}$ mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{x + 6}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 6) (x + 5)$ um.

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $8 x$ von $7 x$ .

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $40$ von $42$ .

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.7

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2, - 5, - 6$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 9.2.3

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, - 6$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 2.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 14$ ist kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $1.4$ ist größer als die rechte Seite $1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $0.\overline{7}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 < x < - 5$ oder $x \geq 2$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

Intervallschreibweise:

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

Schritt 14