Algebra Beispiele

$\log_{5} (3 x + 2) < \log_{5} (2 x + 5)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{5} (3 x + 2) = \log_{5} (2 x + 5)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$3 x + 2 = 2 x + 5$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 2 - 2 x = 5$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$x + 2 = 5$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5 - 2$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$x = 3$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

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Schritt 3.2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x + 5 = 0$

Schritt 3.2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 3.2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Schritt 3.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 3.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 5) + 2}{2 (- 5) + 5} > 0$

Schritt 3.2.10.1.3

Die linke Seite $2.6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 2) + 2}{2 (- 2) + 5} > 0$

Schritt 3.2.10.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0) + 2}{2 (0) + 5} > 0$

Schritt 3.2.10.3.3

Die linke Seite $0.4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5}{2}$ Wahr

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$x > - \frac{2}{3}$ Wahr

$x < - \frac{5}{2}$ Wahr

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$x > - \frac{2}{3}$ Wahr

Schritt 3.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{5}{2}$ oder $x > - \frac{2}{3}$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x + 5 = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 3$

$x > 3$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{5} (3 (- 5) + 2) < \log_{5} (2 (- 5) + 5)$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{5} (3 (- 2) + 2) < \log_{5} (2 (- 2) + 5)$

Schritt 5.2.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.2.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{3} < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{3} < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{5} (3 (0) + 2) < \log_{5} (2 (0) + 5)$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $0.43067655$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{5} (3 (6) + 2) < \log_{5} (2 (6) + 5)$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $1.86135311$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.76037442$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5}{2}$ Falsch

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - \frac{5}{2}$ Falsch

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Schritt 8