Algebra Beispiele

$3 x^{2} + 22 x + 11 < 4$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} + 22 x + 11 = 4$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 22 x + 11 - 4 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $4$ von $11$ .

$3 x^{2} + 22 x + 7 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ und deren Summe gleich $b = 22$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $22$ aus $22 x$ heraus.

$3 x^{2} + 22 (x) + 7 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $22$ um als $1$ plus $21$

$3 x^{2} + (1 + 21) x + 7 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 1 x + 21 x + 7 = 0$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x + 21 x + 7 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + x) + 21 x + 7 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 1) + 7 (3 x + 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x + 7) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 6

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 7

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, - 7$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{1}{3}$

$x > - \frac{1}{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 10)}^{2} + 22 (- 10) + 11 < 4$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $91$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 4)}^{2} + 22 (- 4) + 11 < 4$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 29$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(0)}^{2} + 22 (0) + 11 < 4$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $11$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - \frac{1}{3}$ Wahr

$x > - \frac{1}{3}$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - \frac{1}{3}$ Wahr

$x > - \frac{1}{3}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x < - \frac{1}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 7 < x < - \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- 7, - \frac{1}{3})$

Schritt 13