Algebra Beispiele

$\frac{x^{4} + 0 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 0 - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Schritt 1.2

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 1.3.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{4} - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$81 - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$81 - 10 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $9$ .

$81 - 90 - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 1.3.3.5

Subtrahiere $90$ von $81$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Schritt 1.3.3.7

Addiere $- 9$ und $6$ .

$- 3 + 3$

Schritt 1.3.3.8

Addiere $- 3$ und $3$ .

$0$

Schritt 1.3.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Schritt 1.3.5

Dividiere $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ durch $x + 3$ .

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Schritt 1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Schritt 1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Schritt 1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Schritt 1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

Schritt 1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Schritt 1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Schritt 1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Schritt 1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Schritt 1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

Schritt 1.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Schritt 1.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Schritt 1.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Schritt 1.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Schritt 1.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

$0$

Schritt 1.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$

Schritt 1.3.6

Schreibe $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Schritt 2.2

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ durch $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$