Algebra Beispiele

$10 = \sqrt{2 x^{2} + 3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 x^{2} + 3} = 10$ um.

$\sqrt{2 x^{2} + 3} = 10$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x^{2} + 3}}^{2} = 10^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x^{2} + 3}$ als ${(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 10^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 10^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 10^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x^{2} + 3)}^{1} = 10^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x^{2} + 3 = 10^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 3 = 100$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 100 - 3$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $3$ von $100$ .

$2 x^{2} = 97$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 97$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 97$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{97}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{97}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{97}{2}$

Schritt 4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{97}{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{97}{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{97}{2}}$ als $\frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{97 \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.4.4.2

Mutltipliziere $97$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{194}}{2}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{194}}{2}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{194}}{2}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{194}}{2}, - \frac{\sqrt{194}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{194}}{2}, - \frac{\sqrt{194}}{2}$

Dezimalform:

$x = 6.96419413 \dots, - 6.96419413 \dots$