Algebra Beispiele

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 x^{2} + 18 x + 16}{- x - 1} \div \frac{x^{2} + 11 x + 24}{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 x^{2} + 18 x + 16}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 18 x + 16$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2}) + 18 x + 16}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2}) + 2 (9 x) + 16}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 (9 x) + 2 \cdot 8}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (9 x)$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 8}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 8$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2} + 9 x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $9$ ist.

$1, 8$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 ((x + 1) (x + 8))}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x + 1) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und $- x - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x) + 1) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x - 1)) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x - 1)) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3.1.5

Dividiere $2 \cdot (- 1) (x + 8)$ durch $1$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot (2 \cdot (- 1) (x + 8)) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 4

Multipliziere $- 2 \frac{3}{3 - x}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3 - x}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$(- \frac{6}{3 - x} x - \frac{6}{3 - x} \cdot 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 7

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{3 - x}$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} - \frac{6}{3 - x} \cdot 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 8

Multipliziere $- \frac{6}{3 - x} \cdot 8$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} - 8 \frac{6}{3 - x}) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 8.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{6}{3 - x}$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 8 \cdot 6}{3 - x}) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{3^{2} - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 9.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{2} + 11 x + 24}$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} + 11 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $11$ ist.

$3, 8$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x \cdot 6 - 48}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 x - 48}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x - 48$ heraus.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{6 (- x) - 48}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere $6$ aus $- 48$ heraus.

$\frac{6 (- x) + 6 (- 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x) + 6 (- 8)$ heraus.

$\frac{6 (- x - 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - x$ .

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Schritt 11.4.1

Faktorisiere $3 - x$ aus $(3 + x) (3 - x)$ heraus.

$\frac{6 (- x - 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 - x) (3 + x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (- x - 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 - x) (3 + x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.4.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (- x - 8) \frac{3 + x}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 11.5

Kombiniere $\frac{3 + x}{(x + 3) (x + 8)}$ und $6$ .

$\frac{(3 + x) \cdot 6}{(x + 3) (x + 8)} (- x - 8)$

Schritt 11.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + x$ und $x + 3$ .

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Schritt 11.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 3) \cdot 6}{(x + 3) (x + 8)} (- x - 8)$

Schritt 11.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) \cdot 6}{(x + 3) (x + 8)} (- x - 8)$

Schritt 11.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{x + 8} (- x - 8)$

Schritt 11.7

Mutltipliziere $\frac{6}{x + 8}$ mit $- x - 8$ .

$\frac{6 (- x - 8)}{x + 8}$

Schritt 11.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 8$ und $x + 8$ .

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Schritt 11.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 (- (x) - 8)}{x + 8}$

Schritt 11.8.2

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{6 (- (x) - 1 (8))}{x + 8}$

Schritt 11.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{6 (- (x + 8))}{x + 8}$

Schritt 11.8.4

Schreibe $- (x + 8)$ als $- 1 (x + 8)$ um.

$\frac{6 (- 1 (x + 8))}{x + 8}$

Schritt 11.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (- 1 (x + 8))}{x + 8}$

Schritt 11.8.6

Dividiere $6 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$6 \cdot (- 1)$

Schritt 11.9

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6$