Algebra Beispiele

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{4 x^{2} - 25}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{{(2 x)}^{2} - 25}$

Schritt 1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 5$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{2 x - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x - 5) (2 x + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2 x - 5}$ mit $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x (2 x + 5)}{(2 x - 5) (2 x + 5)} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(2 x - 5) (2 x + 5)$ um.

$\frac{x (2 x + 5)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 x + 5) - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

$\frac{2 x^{2} + 5 x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 5 x - (4 x) - 1 \cdot 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 4 x - 1 \cdot 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 4 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.8

Subtrahiere $4 x$ von $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.9.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.9.1.2

Schreibe $1$ um als $- 5$ plus $6$

$\frac{2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 5.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 5$ .

$\frac{(2 x - 5) (x + 3)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 5$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 5) (x + 3)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{2 x + 5}$