Algebra Beispiele

$12 x^{2} + 48 x = - x^{3} - 64$

Schritt 1

Addiere $x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} + 48 x + x^{3} = - 64$

Schritt 2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} + 48 x + x^{3} + 64 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2} + 48 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 x (x) + 48 x + x^{3} + 64 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $12 x$ aus $48 x$ heraus.

$12 x (x) + 12 x (4) + x^{3} + 64 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x) + 12 x (4)$ heraus.

$12 x (x + 4) + x^{3} + 64 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$12 x (x + 4) + x^{3} + 4^{3} = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$12 x (x + 4) + (x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 x (x + 4) + (x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 x (x + 4) + (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x + 4$ aus $12 x (x + 4) + (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $12 x (x + 4)$ heraus.

$(x + 4) (12 x) + (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) (12 x) + (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$ heraus.

$(x + 4) (12 x + x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 3.6

Subtrahiere $4 x$ von $12 x$ .

$(x + 4) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Schritt 3.7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x + 4) (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.7.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 3.7.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 4) {(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) {(x + 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 4$