Algebra Beispiele

$3 x^{2} - 1 \geq - 2 x$

Schritt 1

Addiere $2 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} - 1 + 2 x \geq 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} - 1 + 2 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 4)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot - 4$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $47$ ist größer als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(0)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(3)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 3$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $26$ ist größer als die rechte Seite $- 6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Falsch

$x > \frac{1}{3}$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Falsch

$x > \frac{1}{3}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq \frac{1}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 1 or x \geq \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Schritt 12