Algebra Beispiele

$x | x | \leq 3$

Schritt 1

Schreibe $x | x | \leq 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \cdot x \leq 3$

Schritt 1.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$x (- x) \leq 3$

Schritt 1.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \cdot x \leq 3 & x \geq 0 \\ x (- x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ x (- x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.7

Vereinfache $x (- x) \leq 3$ .

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Schritt 1.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \cdot x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.2.1

Bewege $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - (x \cdot x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - x^{2} \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $x^{2} \leq 3$ , wenn $x \geq 0$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $x^{2} \leq 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{3}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $| x | \leq \sqrt{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{3}$

Schritt 2.1.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.1.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{3}$

Schritt 2.1.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.1.4

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{3}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{3}$

Schritt 2.1.5

Löse $- x \leq \sqrt{3}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.1.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.1.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.1.5.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$x \geq - \sqrt{3}$

Schritt 2.1.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{3}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{3} \leq x < 0$

Schritt 2.1.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{3}$

Schritt 3

Löse $- x^{2} \leq 3$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- x^{2} \leq 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \leq 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \leq 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Schritt 3.1.1.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{3}{- 1}$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x^{2} \geq - 3$

Schritt 3.1.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.2

Ermittle die Schnittmenge.

$x < 0$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq \sqrt{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq \sqrt{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \sqrt{3}]$

Schritt 6