Algebra Beispiele

$\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$ mit $\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{x^{2} y^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (y^{2}) \frac{1}{x^{2}} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{y^{2} + x^{2} y^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{y (x^{2} y) \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{y (x^{2} y) \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x (x y^{2}) \frac{1}{x}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x (x y^{2}) \frac{1}{x}}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x y^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}{x^{2} y + x y^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y + x y^{2}}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y + x y^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x y$ aus $x^{2} y + x y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x) + x y^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x y$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x) + x y (y)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y (x) + x y (y)$ heraus.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x + y)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y + x$ und $x + y$ .

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Schritt 5.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + y) (y - x)}{x y (x + y)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) (y - x)}{x y (x + y)}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - x}{x y}$