Algebra Beispiele

$(2 x - 5) (3 x + 1) {(x - 5)}^{2} \leq 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$3 x + 1 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 5) (3 x + 1) {(x - 5)}^{2} \leq 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{1}{3}, 5$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 5$

$x > 5$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2 (- 3) - 5) (3 (- 3) + 1) {((- 3) - 5)}^{2} \leq 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $5632$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2 (0) - 5) (3 (0) + 1) {((0) - 5)}^{2} \leq 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 125$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{2} < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{2} < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2 (4) - 5) (3 (4) + 1) {((4) - 5)}^{2} \leq 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $39$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2 (8) - 5) (3 (8) + 1) {((8) - 5)}^{2} \leq 0$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $2475$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$\frac{5}{2} < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Falsch

$x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$\frac{5}{2} < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{2}$ oder $x = 5$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} or x = 5$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{3}, \frac{5}{2}] \cup [5, 5]$

Schritt 10