Algebra Beispiele

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $9^{x + \frac{1}{2}}$ als $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ um.

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $9^{x}$ als ${(3^{2})}^{x}$ um.

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe ${(3^{2})}^{x}$ als ${(3^{x})}^{2}$ um.

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = 3^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $3^{x}$ .

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Schritt 1.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Schritt 1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Schritt 1.4.4

Berechne den Exponenten.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Schritt 1.4.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 u$ heraus.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Schritt 1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Schritt 1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $3^{x}$ .

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $3 \cdot 3^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 \cdot 3^{x} - 1$ gleich $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{x}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{1 + x} - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{1 + x} = 1$

Schritt 3.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

Schritt 3.2.4

Zerlege $\ln (3^{1 + x})$ durch Herausziehen von $1 + x$ aus dem Logarithmus.

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache $(1 + x) \ln (3)$ .

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Schritt 3.2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 3.2.5.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 3.2.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

Schritt 3.2.7

Stelle $\ln (3)$ und $x \ln (3)$ um.

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

Schritt 3.2.8

Subtrahiere $\ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) = - \ln (3)$

Schritt 3.2.9

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = - \ln (3)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.9.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = - \ln (3)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.2.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.2.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $3^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3^{x} - 1$ gleich $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x} = 1$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 0$