Algebra Beispiele

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ um.

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ als ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $25$ und $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Schritt 3.3.1.6

Potenziere $13$ mit $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2197$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $64 a^{3}$ als ${(4 a)}^{3}$ um.

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Schritt 4.2.2

Schreibe $2197$ als $13^{3}$ um.

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Schritt 4.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 a$ und $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Wende die Produktregel auf $4 a$ an.

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Schritt 4.2.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $13$ mit $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Schritt 4.2.4.4

Potenziere $13$ mit $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Schritt 4.4

Setze $4 a - 13$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $4 a - 13$ gleich $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $4 a - 13 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 a = 13$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 a = 13$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a = 13$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Schritt 4.5

Setze $16 a^{2} + 52 a + 169$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $16 a^{2} + 52 a + 169$ gleich $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5.2.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 52$ und $c = 169$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.3.1.1

Potenziere $52$ mit $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

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Schritt 4.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.3

Subtrahiere $10816$ von $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.4

Schreibe $- 8112$ als $- 1 (8112)$ um.

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8112)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ um.

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.7

Schreibe $8112$ als $52^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $2704$ aus $8112$ heraus.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.7.2

Schreibe $2704$ als $52^{2}$ um.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.1.9

Bringe $52$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 4.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 4.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ wahr machen.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$