Algebra Beispiele

$- 7 + {(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4}} = 20$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4}} = 20 + 7$

Schritt 1.2

Addiere $20$ und $7$ .

${(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4}} = 27$

Schritt 2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 19)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 19)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 19)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 19)}^{1} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 19 = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $27^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x^{2} - 19 = {(3^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 19 = 3^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 19 = 3^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 19 = 3^{4}$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x^{2} - 19 = 81$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 81 + 19$

Schritt 4.1.2

Addiere $81$ und $19$ .

$x^{2} = 100$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{100}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{100}$ .

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Schritt 4.3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 10$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 10$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 10$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 10, - 10$